CICC圣万栏目｜莱布尼茨还是欧拉？——谈函数概念的历史发展

的疑虑之前有了一个断定的话说，集合标序文最先是戴德金需用的，而语义研读更早需用了“function”一含义详述集合的涵义。人教A初版讲义在此东南侧有误，不宜该顺利完形同修正。

亨利·庞加莱曾话说：“如果我们想要计算大自然社才会科研读的没来，那么前提的途径是多达据分析这门研读门的近的现代和现状”。在《普通之中研读大自然社才会科研读课程规格》（2017年初版）之中对于“集合的过渡到与蓬勃发展”这均段落说明指出了请求注意承诺：“搜集、书本集合的过渡到与蓬勃发展的近的现代资讯，撰写小博士论文，阐述集合蓬勃发展的全过程、不可忽视结果、主要领袖人物、关键重大事件及其对文明的开创性。”因此，尽管中间的疑虑之前获得话说，但是我们仍想对讲义之中经常出现的有关集合某种程度的大自然社才会科研读文所谓和大自然社才会科研读巨著花钱一些全面性的阐述。

2.1 读本之中的集合蓬勃发展巨著

首先详述各一新初版本的讲义之中对集合某种程度的蓬勃发展的概述，按照原文经常出现的近的现代领袖人物及开创性将均摘录段落列举如下。

清华大研读A初版普通之中研读读本大自然社才会科研读理科第一册（2019年出初版）《集合某种程度的蓬勃发展人生》：

语义研读：“function”一含义起初由西德大自然社才会科研读家语义研读在1692年需用。

华罗庚：在之不能不，清初大自然社才会科研读家华罗庚在1859年和英国政府来华伟烈吉是合中文名的《代不显积拾级》之中首次将“function”中文名花钱“集合”。

查尔斯·吉布斯：捷克大自然社才会科研读家查尔斯·吉布斯突显集合要用公的单详述。

戴德金：捷克大自然社才会科研读家戴德金将集合界定为“如果某些多达据类型，以一种方的单为仰赖于另一些多达据类型，我们将中间的多达据类型称之为为前面多达据类型的集合”。

狄利克肯：西德大自然社才会科研读家狄利克肯在1837人口为人说明指出：“如果对于的每一个系多达，总有一个只不过断定的系多达与之互换，那么是的集合。”

详述：与人教A初版原有讲义的段落只不过只不过相同。

清华大研读B初版普通之中研读读本大自然社才会科研读理科第一册（2019年出初版）《集合界定的变迁全过程概述》：

语义研读：“集合”一含义是语义研读创造的，并用这个含义详述与圆弧上的点有关的圆心间隔，并需用这个含义详述多达据类型相互间的仰赖间的关系。

戴德金：戴德金于1734年首先需用英文字母详述集合，戴德金在他的巨著《不显分研读》之中详述的集合界定是：如果某多达据类型，以如下的方的单为仰赖于另一些多达据类型，即当前面这些多达据类型相反时，前者也渐次相反，则称之为中间的多达据类型是前面多达据类型的集合。

拓扑学：1851年，西德大自然社才会科研读家拓扑学详述的集合界定是：理论静态上是一个多达据类型，它可以大幅度取所有可能才会的非零系多达。如果对它的每一个系多达，都有有可能需求量的唯一的一个系多达与之互换，则称之为为的集合。

尼瓦罗宾逊意识形态家：1939年，比利时尼瓦罗宾逊意识形态家在自造集论的根基上详述了集合的界定……

清华大研读B初版普通之中研读读本大自然社才会科研读理科第一册（原有讲义）《集合某种程度的过渡到与蓬勃发展》：

莱布尼兹：在此之前人们把集合阐释为相反的多达需求量间的关系，把圆弧阐释为庞加莱形象。比利时社会研读家、大自然社才会科研读家莱布尼兹转用了坐标系，创始了由此可知庞加莱。他把庞加莱疑虑转所谓为拓扑研读疑虑。

多达研读分析方法：英国政府大自然社才会科研读家、地质研读家、大自然社会研读家多达研读分析方法，以流多达来界定序文叙连续需求量——流需求量（fluxion）的相反率，用以详述多达据类型相互间的间的关系。因此圆弧是在此之前多达据分析考察的主要静态，这是那个开端集合的某种程度。

语义研读：集合（function）一含义首先是由西德社会研读家语义研读转用的，并用集合一含义来详述一个随着圆弧上的点的调整而调整的需求量，并转用了常需求量、交需求量、参多达据类型等某种程度。

戴德金：捷克大自然社才会科研读家戴德金于1734年转用了集合标序文，曾说之为多达据类型的集合是一个由此可知表示的单，多多达认为集合是由一个公的单断定的多达需求量间的关系。

狄利克肯：直到1837年，西德大自然社才会科研读家狄利克肯放弃了在此之前多多达接受的集合是用大自然社才会科研读标序文和乘例都由的表示的单的论述，说明指出了是与相互间的一种互换的的现代大自然社才会科研读论述。

华罗庚：1859年不能不清初大自然社才会科研读家、天文研读、中文名文家和高等外交家华罗庚第一次将“function”中文名形同集合，这一名含义以前直到现在。

常州凤凰高等教育出初版社普通之中研读读本大自然社才会科研读理科第一册《集合某种程度的过渡到与蓬勃发展》：

莱布尼兹：1637年，比利时大自然社才会科研读家莱布尼兹在《庞加莱研读》之中第一次提过“有可能和并不相同的需求量”，就其了多达据类型，同时也转用集合的意识形态。

语义研读：1692年，西德大自然社才会科研读家语义研读更早需用“集合”这个含义，并用“集合”详述随着圆弧的相反而相反的庞加莱需求量，如双曲线和点的斜率等。

查尔斯·吉布斯：1718年，捷克大自然社才会科研读家查尔斯·吉布斯详述集合在此之后由此可知释：“由多达据类型和常需求量用任何方的单为构形同的需求量都可以叫作的集合。”

戴德金：1755年，捷克大自然社才会科研读家戴德金详述了集合的如下界定……

狄利克肯：1837年，西德大自然社才会科研读家狄利克肯多多达认为：“如果对于的每一个系多达，总有一个只不过断定的系多达与之互换，那么是的集合。”

华罗庚：1859年，不能不明朝大自然社才会科研读家华罗庚将function一含义中文名形同“集合”，并详述界定：“方氏变多达之中恒等彼变多达者，则此为彼之集合。”这里的“恒等”，是包括的意思。在全国性外的大自然社才会科研读发文，惯用将集合（即互换间的关系）序文为，而在全国性的大自然社才会科研读发文，多半将集合写为。

天津师范大研读出初版社普通之中研读读本大自然社才会科研读理科第一册《集合某种程度的源于》：

亚里斯多德：意大利社才会科研读家亚里斯多德第一个说明指出了集合或称之为为多达据类型间的关系的这一某种程度。

语义研读：“function（集合）”这个含义作为大自然社才会科研读同义含义，起初是由语义研读奠基者之一、西德社会研读家、大自然社才会科研读家语义研读在1673年的手稿之中首次需用的。

华罗庚：1859年，不能不清初大自然社才会科研读家华罗庚在中文名文《代大自然社才会科研读》时，把“function”中文名为“集合”。

在以上有所不同一新初版本讲义的概述之中，语义研读和戴德金都常以，那么在集合某种程度蓬勃发展的人生之中，讲义之中提过的这些领袖人物花钱出了哪些开创性，还有哪些关键领袖人物呢？为了对集合某种程度有更加更进一步的阐释，也方便师生在撰写集合蓬勃发展全过程的小博士论文时简介，我们以领袖人物为线索，简要谈到集合某种程度蓬勃发展的几种理论静态，有所不同近的现代之前更加多大自然社才会科研读家对集合的阐释还可简介[7]。

2.2 多达据类型话说

对爱国运动与相反的多达据分析是集合某种程度产生的直接原因。16世纪以来，人们对外太空爱国运动、海王星爱国运动以及如何测需求量时间等理论静态上疑虑的需，使得大自然社才会科研读斜向移动对爱国运动的多达据分析以及对各种相反全过程和各个相反着的需求量相互间间的关系的多达据分析，因此大自然社才会科研读之中经常出现了“多达据类型”的某种程度。从此，大自然社才会科研读从整整的常需求量大自然社才会科研读中期显质性到多达据类型大自然社才会科研读中期，也就系多达得注意多达据分析“多达”变为了多达据分析“集合”。尽管初之中讲义之前经常出现集合的某种程度，但直到之中研读讲义集合一章的更进一步引介，之中研读大自然社才会科研读从实正从指多达恒等多达的多达据分析演进为对集合的多达据分析。集合某种程度的蓬勃发展便是语义研读观念的蓬勃发展，要多达据分析爱国运动相反全过程大自然便是“不显分”，因此研读校在之中研读接触导多达与语义研读便，也正的单展露头角了发端大自然社才会科研读的大门。

莱布尼兹、戴德金、多达研读分析方法

众所周知，莱布尼兹与戴德金是由此可知庞加莱的奠基者，他们转用了坐标系，使拓扑研读表示的单和平面上的庞加莱图形相互换，从而可以将庞加莱疑虑转所谓为拓扑研读疑虑来多达据分析。但事显上，他们也是集合某种程度的奠基者，他们说明指出了坐标之中和具备某种间的关系，如戴德金所话说“每当我们看到两个有可能需求量的等的单，我们就有一条轨迹，它讲述的不外乎是一条直线间圆弧”，这里经常出现的轨迹和圆弧就是早期集合的N-。

多达研读分析方法首次用专为同义含义genita（希腊语）序文叙了从一个需求量之中获得的另一个需求量。多达研读分析方法称之为他的多达据类型为流多达。多达研读分析方法为集合某种程度的蓬勃发展作出的最大开创性在于他需用了有理数乘积，有理数乘积对集合某种程度的全面性蓬勃发展并不不可忽视。

语义研读

天津大研读初版一新讲义之中称之为“function（集合）”这个含义作为大自然社才会科研读同义含义起初是由西德大自然社才会科研读家语义研读在1673年的手稿之中首次需用的，而人教A初版一新讲义、苏教初版一新讲义传为之为语义研读于1692年更早需用“集合”这个含义。事显上，这两个事显是不矛盾的。

语义研读在1673年的一篇手稿《音韵学线间集合分析方例》（Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus）之中首先需用了“function”的希腊语，但这个含义极为详述集合的涵义。同义含义“function”首次经常出今日版画上是语义研读在1692年发表的博士论文《De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis》，这篇文章之中也包括了许多今日常用的其他大自然社才会科研读同义含义[8]。在1694年语义研读的另一篇博士论文之中也经常出现了集合，并用集合详述任何一个随着圆弧上的点调整而调整的庞加莱需求量，如圆弧上点的坐标、长笛、双曲线、例线等。

语义研读的集合的界定过分限制在庞加莱领域。事显上，作为语义研读的奠基者，多达研读分析方法和语义研读在此之前所多达据分析的语义研读极为是的现代含义下基于集合的语义研读，而是基于庞加莱研读的语义研读。

查尔斯·吉布斯

便，语义研读的研读校查尔斯·吉布斯（J. Bernoulli，1667-1748）需用了集合这个同义含义。1698年7年初，语义研读在给查尔斯·吉布斯的信之中写到：“我很高兴你在我的含义下需用集合这个同义含义”。吉布斯在1698年8年初的回信之中话说：“为了详述某个不定需求量的集合，我爱好需用相不宜的标序文或希腊英文字母，这样我们就可以同时看到这个集合所仰赖的不定需求量。”在同一封信之中，他需用了标序文和。便，集合的某种程度逐渐脱离庞加莱。

1718年，吉布斯首次说明详述集合的正的单界定：“一个多达据类型的集合是称之为由这个多达据类型和常多达以给定一种方的单为构形同的需求量”。他实验过几种详述的集合的标序文，其之除此以外大自然社才会科研读标序文详述集合是最近的现代序文例的一种。“多达据类型”一含义也是这时转用的。吉布斯的这个界定脱离了庞加莱语种，但他没有由此可知释“以给定一种方的单为构形同”的涵义。

戴德金

下一位关键领袖人物是戴德金，他是查尔斯·吉布斯的研读校。在查尔斯·吉布斯的根基上，戴德金在18世纪30年代发表的一篇博士论文之除此以外详述的给定集合，便在1748年出初版的《无穷分析分析方例引论》之中需用了吉布斯的界定，并且首次用“由此可知的单”[9]来界定集合，把一个多达据类型的集合比如话说由该多达据类型和一些常多达以任何方的单为构形同的由此可知表示的单，如，。戴德金在这本书的前言之中话说大自然社才会科研读分析分析方例就是多达据分析多达据类型及其集合的一门研读门，并且他多多达认为语义研读是关于集合的，而不是关于圆弧的。这是戴德金的“由此可知的单”界定。

1755年，戴德金在他的《不显分研读分析方法》之中详述了在此之后集合界定：“如果某些需求量以如下方的单为仰赖于另一些需求量，即当后者相反时，前者本身也发生相反，则称之为前一些需求量是后一些需求量的集合”。这是戴德金的“仰赖间的关系”界定。

总之，戴德金是第一位醒目集合某种程度的大自然社才会科研读家，戴德金还对集合顺利完形同了分类，需用了“拓扑研读”集合、“突破”集合，“单系多达”集合、“多系多达”集合等同义含义，他界定的集合间的关系可以用诸如多项的单、正切、指多达恒等多达表示的由此可知的单或由此可知的单的归一化来详述。戴德金的界定就其到讲述两个多达据类型相互间的相反间的关系，人们多半称之为戴德金的界定为集合的“多达据类型话说”。戴德金对集合蓬勃发展的更加多开创性可简介[10]。

戴德金及同开端的其他大自然社才会科研读家都承诺集合是通过一个由此可知的单表示出来的，根据他们的论述，

不能称之为之为一个集合。在这一中期，持用由此可知的单来界定集合的论述的闻名于世大自然社才会科研读家还有很多，请求注意简述其之中几位。

丹尼尔·吉布斯在多达据分析长笛转动常多达时，获得了一个称之为为三角乘积（即日后的Fourier乘积）也就是说概念的由此可知，吉布斯从物理的眼光相信所有的集合都可以详述为三角乘积的也就是说概念。

拉格朗日日在《由此可知尼瓦代多达》（1797年）之中称之为一个或几个需求量的集合是称之为给定一个适于数值的表示的单，这些需求量以给定方的单为经常出现于表示的单之中……一般地，我们用英文字母或放在一个多达据类型的中间以详述该多达据类型的给定一个集合，即详述仰赖于这个多达据类型的任何一个需求量，它按照一种集合的大自然现象随着那个多达据类型一起相反。拉格朗日日在这本书之中以有理数乘积为出发点，将集合某种程度限制为由此可知集合。

德哈里森在1837年的《代大自然社才会科研读》之中将集合界定为以给定方的单为包括x的表示的单。1851年，罗密士在《由此可知庞加莱与语义研读根基》之中称之为“若一个多达据类型相等掺入另一个多达据类型的拓扑研读的单，则称之为第一个多达据类型为第二个多达据类型的集合”。英国政府来华伟烈吉是（A. Wylie，1815-1887）和清初大自然社才会科研读家华罗庚（1810-1882）中文名文的《代大自然社才会科研读》和《代不显积拾级》（即《由此可知庞加莱与语义研读根基》）正是这两本书，它们运用于的都是集合的“由此可知的单”界定，因此他们将多达据类型中文名文为变多达，包括变多达的表示的单中文名文为“集合”，意为“一个乘积之中掺入多达字标序文”，其之中“恒等”与“含”含义只不过相同。华罗庚将集合标序文“”用“恒等”详述，从而集合用汉字所谓标序文详述形同“地=恒等（天）”。《代大自然社才会科研读》之中集合界定为：“凡的单之中含天，为天之集合”（之不能不汉代以四海领袖人物详述有可能多达），《代不显积拾级》之中称之为“方氏变多达之中恒等彼变多达，则此为彼之集合”，这就是之中英文大自然社才会科研读名含义“集合”的语源。当代大自然社才会科研读大家丘形同桐多多达认为《代大自然社才会科研读》和《代不显积拾级》是清代现代代大自然社才会科研读丛书之中最不可忽视的两本丛书，因为它们给之不能不传统大自然社才会科研读促使了现代标序文详述理论静态体系和子系统所谓的语义研读理论静态[11]。

人教A初版讲义称之为“在之不能不，清初大自然社才会科研读家华罗庚在1859年和英国政府来华伟烈吉是合中文名的《代不显积拾级》之中首次将‘function’中文名花钱‘集合’”，而天津大研读初版一新讲义称之为“1859年，不能不清初大自然社才会科研读家华罗庚在中文名文《代大自然社才会科研读》时，把‘function’中文名为‘集合’”。那么华罗庚究竟是在《代大自然社才会科研读》还是《代不显积拾级》之中更早把function中文名文形同集合的？事显上，这两本书可能才会是同时顺利完形同中文名文的，并且都是在1859值得一提墨海书馆出初版的。因此，更加确切的来历可能才会是：1859年，不能不清初大自然社才会科研读家华罗庚和英国政府来华伟烈吉是在合中文名《代大自然社才会科研读》与《代不显积拾级》时首次将“function”中文名为“集合”。徐品方、张红在《大自然社才会科研读标序文巨著》之中需用了这种来历[5]。

用集合的由此可知的单界定有很大的仅限于性，比如某些多达据类型相互间的互换间的关系无例用由此可知的单表示。更加多关于由此可知的单界定的段落，我们推荐听众书本[9]。

2.3 互换话说

1755年，戴德金就详述了集合的“仰赖间的关系”界定，这种界定也逐渐变迁为“互换话说”。便，傅里叶摆脱了戴德金实体由此可知的单界定的挣脱，拉普拉斯、狄利克肯和拓扑学等详述了集合的的现代界定。

傅里叶

比利时大自然社才会科研读家傅里叶（J. Fourier，1768-1830）在多达据分析热和传导常多达的由此可知时，获得论点：在有所不同的直通一个三角乘积的和需用有所不同的算的单表示。他多多达认为集合究竟由实体由此可知的单详述极为不可忽视，他在1822年《热和的由此可知理论静态》之中详述集合的如下界定：“集合代表一系列的系多达或斜率，它们之中的每一个都是给定的。对于无限多个集合的横坐标的系多达，有比方话说多个斜率。……我们不理论静态上这些斜率要服从一个共同的大自然现象”。

拉普拉斯

比利时大自然社才会科研读家拉普拉斯（A. Cauchy，1789-1857）援引了拉格朗日日用有理数乘积界定集合的仅限于，他多达据分析了集合

并断定在东南侧的各阶导多达均为0，但按照库珀乘积详述的集合

不是这样一来的集合。1823年，拉普拉斯用间的关系详述了集合的界定：“在某些多达据类型相互间假定着一定的间的关系，只要其之中某一多达据类型的系三集合了，其它多达据类型的系多达可渐次而断定时，则将起初的多达据类型叫自多达据类型，其它各多达据类型就专指集合”。

狄利克肯

1837年，西德大自然社才会科研读家狄利克肯（L. Dirichlet，1805-1859）加以改进了傅里叶的界定，详述了集合的请求注意界定：“如果对于集合直通上的每一个的系多达，有唯一更少的的系多达同它互换，那么就是的一个集合。至于在整个直通上究竟按照一种大自然现象仰赖于，或者仰赖于究竟需用大自然社才会科研读乘例来表示，那都是不显不足道的”。

由此，集合可以阐释为一个规章，多达据类型的系多达固定了，按照这个规章断定了（或互换着）唯一的一个系多达。集合的这个界定打破了十八世纪占有的政权独立性的集合仅仅由一个由此可知的单来表示的想例，狄利克肯在多达据分析傅里叶乘积的收敛性疑虑时经常出现了狄利克肯集合

这样界定的互换间的关系在狄利克肯的含义下形同集合。狄利克肯的集合界定之前近之中研读读本之中的集合某种程度[12]。

自狄利克肯的指导便，经常出现了大需求量的“自恋”集合，分析分析方例研读的形态也经常出现了相反。17世纪以来，分析分析方例研读被多多达认为可以不宜需用“所有”集合，从狄利克肯开始，分析分析方例研读斜向移动多达据分析特定的集合类，如连续集合、可不显集合、可积集合、单调集合等。而一些大自然社才会科研读家也开始多达据分析一些不规章的集合，如魏尔斯特拉斯在1872年详述的闻名于世的东南侧东南侧不可不显的连续集合。

拓扑学

1851年，拓扑学（B. Riemann，1826-1866）详述的集合界定是：“理论静态上z是一个多达据类型，它可以大幅度取所有可能才会的非零系多达，若对它的每一个系多达，都有不定需求量w的唯一的系多达与之互换，则称之为w为z的集合”。

狄利克肯和拓扑学的界定之中运用于了“唯一的一个系多达与之互换”，多半这样的界定称之为为集合的“互换话说”，这样集合的某种程度从“多达据类型话说”演进为“互换话说”，不能不现行之中研读读本大部分运用于这样的界定[13]。

因此，用“互换话说”界定集合，主要关心的是互换的结果，而不是全过程，互换例则是技术手段，互换结果才是目地[14]。只不过相同的互换间的关系可以有有所不同的乘积来表示，在这一点上，拉普拉斯详述了一个很直观的例证，也可以用或来详述。我们还可以举出其他初等例证，比如与是同一个集合；和是同一个集合，等等。此外，对于集合与，由于互换例则有所不同，它们貌似是两个有所不同的集合，但仔细分析分析方例，它们的界定域只不过相同，并且一旦多达据类型的系多达固定，按照这两个由此可知的单详述的规章都断定了只不过相同的系多达，因此这“两”个集合是同一个集合。

2.4 间的关系话说

1874年，康托尔开创了自造集论，到20世纪初，自造集论的意识形态与分析方例溶入大自然社才会科研读的各个领域。在原设立自造集论便，集合界定又以自造集互换的方的单为顺利完形同了改写。

1888年，戴德金把集合界定为自造集间的拓扑，而拓扑称之为一种规章：在这种规章下，子系统（即自造集）之中的给定类型互换于断定的并不一定。

1904年，J. Tannery详述了基于自造集论的集合界定：再考虑有所不同的多达都由的一个自造集，这些多达可作为视作英文字母的系多达，则称之为为一个多达据类型，原设的每一个系多达互换于一个多达，后者可作为视作英文字母的系多达，则我们称之为是由自造集所断定的的集合。

1939年，比利时尼瓦罗宾逊意识形态家在自造集论的根基上，详述的集合界定如下：原设和是两个自造集，它们可以有所不同，也可以只不过相同。之中的变元x和之中的变元y相互间的一个间的关系称之为为一个集合间的关系，如果对于每一个，都假定唯一的，它做到与x集合的间的关系。称之为这样的乘例为集合，它以上述方的单为将与x有集合间的关系的类型和与每一个类型相密切联系。称之为y是集合在类型x东南侧的系多达，集合系多达由集合的间的关系所断定。

尼瓦罗宾逊意识形态家还详述了集合用笛海因里希积子集（互补对）来界定的分析方例，这个界定也可以在《普通之中研读大自然社才会科研读课程规格》（2017年初版）案例2之中看到：原设是界定在自造集和上的一个二元间的关系，称之为这个间的关系为集合，如果对于每一个，都假定唯一的，使得。但课程规格在此东南侧没说明二元间的关系的界定，理论静态上上自造集和上的一个二元间的关系称之为自造集和的笛海因里希积的一个子集。这个界定可以用也就是说概念所谓的语种序文叙如下：原设和为两个自造集，，给定，假定使得，若且蕴含，则称之为是自造集到自造集的集合。

以“间的关系”为桥面，通过自造集来界定集合称之为为集合的“间的关系话说”。“间的关系话说”通过附加条件避免了交代“互换间的关系”，全国性外的一些之中研读讲义[15]也有运用于。另外，尼瓦罗宾逊意识形态家是多达据分析大自然社才会科研读形态的创始者，更早用自造集论语种讲述了大自然社才会科研读形态。在20世纪，将给定自造集相互间的拓扑作为集合的某种程度逐渐占有据主导独立性。的现代形式化概念论的奠基者麦克莱恩（S. MacLane，1909-2005）1986年在《Mathematics: Form and Function》一书之中详细资讯阐述了集合的各种“直观”看例，需用有不可多达对详述了一个也就是说概念所谓界定，需用或来详述一般集合[16]。

“间的关系话说”界定了由此可知到了集合的某种程度但过于也就是说概念所谓，不利于初研听众掌握[17]，因此经常出现了集合一新界定的一些尝试[13][14]。笔者多多达认为，虽然这种界定相对形式化，但对于之前精通之中研读读本之中集合某种程度的研读校来话说，前提的也就是说概念所谓可以培养研读校的大自然社才会科研读形式化素养，特别是对于根基良好的研读校，为了研读校在短期内的蓬勃发展，了由此可知集合的一些更加发端界定或许可以为他们开启一扇了由此可知近的现代大自然社才会科研读的大门。

2.5 读本之中的集合某种程度

我们需用现行人教A初版之中研读读本（2019年一新讲义）的集合某种程度：一般地，原设，就其自造的非零集，如果对于自造集之中的给定一个多达，按照某种断定的互换间的关系，在自造集之中都有唯一断定的多达和它互换，那么就称之为为从自造集到自造集的一个集合，序文作。其之中，专指自多达据类型，的取系多达范围内专指集合的界定域；与的系多达相互换的系多达专指集合系多达，集合系多达的自造集专指集合的系多达域。

从上面的序文叙可以详述了，在之中研读之前，集合界定就是结合了尼瓦罗宾逊意识形态家的“间的关系话说”和取自狄利克肯、拉普拉斯、拓扑学等的“互换话说”而过渡到的，这种概括也称之为为集合的“互换间的关系话说”。

在这个某种程度之中或许需详述：非自造非零集称之为由非零都由的非自造自造集。为什么要如此大费口舌呢？原因在于非零集在讲义之中是一个值得注意的自造集，人教A初版讲义之中称之为“全体非零都由的自造集称之为为非零集”，于就其零集特称之为，只不过就其自造的。讲义之中只有在集合界定之中经常出现了“非自造非零集”一含义，因此不宜值得注意援引，以避免初研听众将这一界定之中的非自造非零集来作。与人教A初版原有讲义相比，这样一来的界定为“原设，为非自造的三集”，从三集到非零集，尽管只有一字之差，但对于初研听众而言，却容易引起歧义。为了严谨，我们建言在界定之中“原设，为的非自造子集”。此外，为了突显自造集的不可忽视性，以及区隔自造集和系多达域，我们也建言给自造集一名称之为“陪域”（英文codomain），这样的区别于在英文文献之中广泛运用需用。

之中研读之前的集合某种程度再考虑的就其自造非零自造集相互间的拓扑，而这一某种程度在研读校走出大研读初期就才会迅速而广泛运用地推动，如多元语义研读之中的多多达据类型集合是到的拓扑，等价拓扑研读之中的等价拓扑多达据分析到的拓扑，同调是到的拓扑。从近的现代上看，集合更早称之为语义研读之中到的集合，如今用自造集某种程度详述的一般集合（拓扑）某种程度在大自然社才会科研读之中起着了强大的统一发挥作用[16]。因此，对于研读力良好的研读校，可过去提补足拓扑的相关知识，为研读校进一步阐释集合的推动某种程度奠定根基。

3 结语

对集合某种程度的直观谈到可以详述了集合某种程度是一代代大自然社才会科研读家经过多次形式化的结果，有所不同的近的现代之前，对集合的交往视角有所不同，即使是同一大自然社才会科研读家，在其有所不同之前对集合的界定也有差异。集合是语义研读的也就是说多达据分析并不一定，但从近的现代上看，语义研读在集合某种程度没有说明详述之前就原设立了，更早的语义研读是原设立在圆弧上的（庞加莱研读）。集合某种程度的说明指出使得诞生于庞加莱研读的语义研读走上了拓扑研读所谓的道路，作为紧接几何研读庞加莱便，全部大自然社才会科研读之中一个最大的创造，语义研读的蓬勃发展又促使人们对集合有了在此之后交往。

集合更早是一个庞加莱某种程度，当用由此可知的单表示集合时形同一个拓扑研读某种程度（或分析分析方例某种程度），从大自然社才会科研读巨著上看，用有理数乘积界定的集合（如的有理数乘积界定）、用归一化界定的集合（如戴德金界定的Gamma集合，概率论之中正态分布集合等）、用不显分常多达或偏不显分常多达的由此可知界定的集合（如Bessel集合、超庞加莱集合等值得注意集合）等对催生大自然社才会科研读和不宜用大自然社才会科研读的蓬勃发展起了并不不可忽视的发挥作用，很感兴趣的听众可以简介[18][19]；当集合作为“互换”的“语义”某种程度经常出现时，集合的某种程度进一步获得蓬勃发展。随着大自然社才会科研读的蓬勃发展，集合的某种程度大大精确所谓，并且大大推动和蓬勃发展，其整整的变迁全过程，展现了人们追求实理的执着精神。

当出书到大自然社才会科研读标序文，不得不提到语义研读。语义研读想看到一个标序文子系统，并详述这些标序文相互间的乘例规章或直觉算术规章，需用这种标序文算术，就能够假定用这种语种写形同的文例何时为实。详述这样一套理想的标序文子系统或语种，详述断定的语种算术规章，把日常疑虑转所谓为这种语种，依靠算术就可以求由此可知疑虑的答案，这就是语义研读之梦！语义研读曾话说“标序文的一般技巧或序文例上的技巧是一种绝妙的也就是说功能，因为它减轻了显然的解职，……要是所用的序文号简练地表示了而且详述了了感官最某种程度的话，那么意识形态的指导就大大地提高了”。如语义研读把圆弧看形同是边多达为无穷的八边形，每个点的斜率为，是无穷八边形的边的秋分断定的横轴的二阶的均，从而详述二阶km，因此语义研读的序文号由此可知释为圆弧下的km。语义研读发明者的不显分标序文和归一化标序文直到现在，语义研读的这些标序文也把只有少多达专家能一窍不通的语义研读理论静态变迁形同了可以在读本之中研习的明晰说出的段落。大自然社才会科研读研听众梁宗巨恩师多多达认为“一套合适的标序文，绝对不仅仅是起专于、省去的发挥作用。因为他能精明地、深刻地表示某种某种程度、分析方例和语义间的关系，对于一个复杂的公的单，如果不用标序文而用日常用语来概括，一般来话说甚为技术性而相符。”语义研读需用的标序文具备极大的优越性，这充分展现了一套好的标序文体系与算术规章力需求量无穷！

然而，从我们所翻阅的资讯分析分析方例可以详述了，尽管“function”一含义是语义研读更早转用的，但我们熟悉的集合标序文的创始不宜便是戴德金。事显上，戴德金转用的标序文在庞加莱研读、代大自然社才会科研读、等价代多达及分析分析方例研读之中也随东南侧可见，如等价代多达之中需用小写英文字母、和详述三角形的边，需用互换的标序文、和详述互换的角，就取自于戴德金，此外用详述指多达恒等三集合，用详述退兵也都源于戴德金。总之，我们今天所需用的标序文之所以是这个样子，很大一均功劳便是戴德金和语义研读。

简介文献：

[1]王嵘，章建跃，南宋莉莉，等．之中研读大自然社才会科研读整体某种程度讲义编写的的国际相对——以集合为例[J]．课程·讲义·教例，2013，33（6）：51-56．

[2]林琦焜．用集合来探究（上）[J]．大自然社才会科研读散播，2019，43（3）：32-42．

[3]杜石然．集合某种程度的近的现代蓬勃发展[J]．大自然社才会科研读汇报馆，1961，6：36-40．

[4]约瑟夫·欧拉．诗文大自然社才会科研读意识形态.第2册[M]．汉口：汉口社才会科研读技术出初版社，2002．

[5]徐品方，张红．大自然社才会科研读标序文巨著[M]．天津：社才会科研读出初版社，2006．

[6]海因里希•博耶．大自然社才会科研读巨著[M]．秦传安，中文名．天津：之中央编中文名出初版社，2012．

[7]汪晓勤．之中研读校对集合某种程度的阐释——近的现代相似性初探[J]．大自然社才会科研读政治研读报馆，2007，4：84-87．

[8]STRUIK D J．A source book in mathematics, 1200-1800[M]．Harvard Univ. Press, 1969：367．

[9]汪晓勤．19世纪18世纪过去的集合由此可知的单界定[J]．大自然社才会科研读汇报馆，2015，54（5）：1-12．

[10]贾随同，任瑞芳．戴德金对集合某种程度的蓬勃发展[J]．耶鲁研读报馆（大自然社才会科研读初版），2008，38（3）：513-516．

[11]丘形同桐．清代与日本明治维一新中期大自然社才会科研读人材市场销售之相对[J]．耶鲁研读报馆（大自然社才会科研读初版），2009，39（5）：721-725．

[12]朱镕基奇．集合某种程度300年[J]．大自然辩证例多达据分析，2001，17（3）：48-52．

[13]保紧接光，樊絮．也出书集合的界定[J]．大自然社才会科研读汇报馆，2018，57（6）：14-17．

[14]李祎，樊益华．集合某种程度的某种程度与界定方的单为揭示[J]．大自然社才会科研读政治研读报馆，2013，22（6）：5-8．

[15]SULLIVAN M．Precalculus[M]，tenth edition．Pearson Education，2015：80．

[16]MACLANE S．Mathematics: form and function[M]．Springer，1986．

[17]贾随同，吕世虎，张定强，等．普通之中研读大自然社才会科研读课程规格显验读本人教A初版与天津大研读初版的相对多达据分析——以“集合及其详述”为例[J]．大自然社才会科研读政治研读报馆，2014，23（5）：46-50．

[18]KLEINER I．Evolution of the function concept: a brief survey[J]．The College Mathematics Journal，1989，20（4）：282-300．

[19]KLEINER I．Functions: Historical and pedagogical aspects[J]．Science and Education，1993，2：183-209．

[20]梁宗巨．当今大自然社才会科研读巨著序文[M]．哈尔滨：辽宁高等教育出初版社，1981：134．

作者概述：

姚少魁（1984—），男，陕西周至人，丰台区第八十之中研读教师，博士，多达据分析斜向为大自然社才会科研读物理。

MLT-（1992—），男，运城人，丰台区朝阳区高等教育社才会科研读多达据分析院，博士，多达据分析斜向为代大自然社才会科研读、大自然社才会科研读高等教育。

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来源：好玩的大自然社才会科研读，出版人：nhyilin

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